Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = \frac{4}{3}$ , $\cos (θ) < 0$

Schritt 1

The cosine function is negative in the second and third quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im dritten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 3

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{16 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{16 + 9}$

Schritt 5.3

Addiere $16$ und $9$ .

Hypothenuse $= \sqrt{25}$

Schritt 5.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{5^{2}}$

Schritt 5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= 5$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 4}{5}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{4}{5}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 3}{5}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{3}{5}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 8.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{3}{4}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 3}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{5}{3}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{5}{- 4}$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{5}{4}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{4}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{3}{5}$

$\tan (θ) = \frac{4}{3}$

$\cot (θ) = \frac{3}{4}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{3}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{4}$