Trigonometrie Beispiele

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ und $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ankathete : $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5}{25} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{20}{25} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $25$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (4)}{25} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4}{5} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + 1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{1}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5}{5^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5}{25}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5 (1)}{25}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{5}}$

Schritt 2.9.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

Schritt 2.9.3

Dividiere $5$ durch $5$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.9.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{5}}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{5}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{5}}{5}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{5}{\sqrt{5}}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.6.2

Dividiere $\sqrt{5}$ durch $1$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \sqrt{5} \approx - 2.23606797$