Trigonometrie Beispiele

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Da $\cot (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\cot (- x)$ als $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Schritt 1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (- x) + \sin (- x)$

Schritt 1.3

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \sin (- x)$

Schritt 1.4

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Schritt 1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Schritt 1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Schritt 1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Schritt 1.5

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \sin (x)$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) - \sin (x)$

Schritt 2.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - \cos (x) \cot (x)$ und $b = - 1 \sin (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sin (x))}^{2} + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$| z | = \sqrt{{(- \sin (x))}^{2} + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $- \sin (x)$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 \sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.5

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.6

Multipliziere $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 6.6.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.6.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- 1)}^{2} (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)})}$

Schritt 6.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.8.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + 1 (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)})}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 6.8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 6.8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{{\cos (x)}^{2 \cdot 2}}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 6.8.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 6.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{4} (x)$ heraus.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 6.9.2

Multipliziere mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1}}$

Schritt 6.9.3

Separiere Brüche.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 6.9.4

Wandle von $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ nach $\cot^{2} (x)$ um.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot^{2} (x)}$

Schritt 6.9.5

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})$ und $| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)}$ .

$\sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})))$