Trigonometrie Beispiele

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ) = \csc^{4} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ)$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1^{2} + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ)$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot^{4} (θ)$ als ${(\cot^{2} (θ))}^{2}$ um.

$1^{2} + 2 \cot^{2} (θ) + {(\cot^{2} (θ))}^{2}$

Schritt 2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \cot^{2} (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \cot^{2} (θ)$

Schritt 2.4

Schreibe das Polynom neu.

$1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cot^{2} (θ) + {(\cot^{2} (θ))}^{2}$

Schritt 2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = \cot^{2} (θ)$ .

${(1 + \cot^{2} (θ))}^{2}$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

${(\csc^{2} (θ))}^{2}$

Schritt 4

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 4.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (θ)$ an.

${({(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (θ)}$ an.

${(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)})}^{2}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}$ an.

$\frac{{(1^{2})}^{2}}{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(1^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1^{2 \cdot 2}}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1^{4}}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({\sin (θ)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\sin^{4} (θ)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{1}{\sin^{4} (θ)}$ als $\csc^{4} (θ)$ um.

$\csc^{4} (θ)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ) = \csc^{4} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung