Trigonometrie Beispiele

$1 - \frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 1$ und $b = - \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}) + 1^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}) + 1^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1^{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\cos (x)}^{2 \cdot 2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1^{2}}$

Schritt 4.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})$

Schritt 6

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})$ und $| z | = \sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1}$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 1} (\cos (\arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})) + i \sin (\arctan (\frac{- \frac{1 \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)}}{1})))$