Trigonometrie Beispiele

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ heraus.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ heraus.

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sin (θ)$ und $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\sin (θ)$ und $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kombinieren.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (θ)$ und ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Schritt 4

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\cot (θ) + \csc (θ)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Schreibe $\cot (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

Schritt 5.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (θ)$ an.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ ist eine Identitätsgleichung