Trigonometrie Beispiele

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)) = \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3

Multipliziere $\cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\cos (t)$ und $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \sin (t)$

Schritt 4.2

Um $\sin (t)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)) = \frac{1}{\sin (t)}$ ist eine Identitätsgleichung