Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) + \sec (x))$

Schritt 2.3

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Schritt 2.4

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$({\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.4.2

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.5

Multipliziere $(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\sin^{2} (x) - 1$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$ ist eine Identitätsgleichung