Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $45$ .

$x = 45$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 360 - 45$

Schritt 6

Subtrahiere $45$ von $360$ .

$x = 315$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 8

Die Periode der $\cos (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$