Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Schritt 2

Addiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ mit $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ mit $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ um.

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 3.2

Addiere $- \sec (x)$ und $\sec (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 5.1

Stelle $1$ und $- \sec^{2} (x)$ um.

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Schritt 5.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Schritt 5.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 6

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 6.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 7.2

Multipliziere $2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Kombinieren.

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Schritt 11

Mutltipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 13

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$- 2 \cot^{2} (x)$

Schritt 14

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 14.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 16

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung