Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 1.2

Multipliziere $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}$

Schritt 1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.2

Separiere Brüche.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ nach $\tan (θ)$ um.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{1} \tan (θ)$

Schritt 2.4

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) + \sin (θ) \tan (θ)$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \cos (θ)$ und $b = \sin (θ) \tan (θ)$ .

$| z | = \sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{\sin (θ) {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ an.

$| z | = \sqrt{\sin (θ) (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}) + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $\sin (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Kombiniere $\sin (θ)$ und $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $\sin (θ)$ mit $\sin^{2} (θ)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $\sin^{2} (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 2}}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Faktorisiere $\sin^{2} (θ)$ aus $\sin^{3} (θ)$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cdot 1} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.4.3

Separiere Brüche.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.4.4

Wandle von $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ nach $\tan^{2} (θ)$ um.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 6.4.5

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})$ und $| z | = \sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$ .

$\sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)} (\cos (\arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})) + i \sin (\arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})))$