Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (θ) + \csc (θ) - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \csc (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\csc (θ)$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

$\csc (θ) + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $\csc (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\csc (θ) - 1$ gleich $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\csc (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (θ) = 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $arccsc (1)$ ist $90$ .

$θ = 90$

Schritt 3.2.4

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 90$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$θ = 90$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.7

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 90 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\csc (θ) + 2$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\csc (θ) + 2$ gleich $0$ .

$\csc (θ) + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\csc (θ) + 2 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (θ) = - 2$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (- 2)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $arccsc (- 2)$ ist $- 30$ .

$θ = - 30$

Schritt 4.2.4

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $360$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 30 + 180$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 4.2.5.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.7

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.7.1

Addiere $360$ zu $- 30$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 30 + 360$

Schritt 4.2.7.2

Subtrahiere $30$ von $360$ .

$330$

Schritt 4.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 330$

Schritt 4.2.8

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$ wahr machen.

$θ = 90 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 90 + 120 n$ , für jede Ganzzahl $n$