Trigonometrie Beispiele

$\sqrt[4]{\frac{7^{2}}{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{49}{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 2

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{49}{m}}$ als $\frac{\sqrt[4]{49}}{\sqrt[4]{m}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{49}}{\sqrt[4]{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 3.2

Schreibe $\sqrt[4]{7^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{7^{2}}}$ um.

$\frac{\sqrt{\sqrt{7^{2}}}}{\sqrt[4]{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{3}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{\sqrt[4]{m} {\sqrt[4]{m}}^{3}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.2

Potenziere $\sqrt[4]{m}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{1} {\sqrt[4]{m}}^{3}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{1 + 3}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{4}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.5

Schreibe ${\sqrt[4]{m}}^{4}$ als $m$ um.

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Schritt 5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{m}$ als $m^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{(m^{\frac{1}{4}})}^{4}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{\frac{1}{4} \cdot 4}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{\frac{4}{4}}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{\frac{4}{4}}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{1}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 5.5.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 6

Schreibe ${\sqrt[4]{m}}^{3}$ als $\sqrt[4]{m^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt[4]{m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $7^{\frac{1}{2}}$ als $7^{\frac{2}{4}}$ um.

$\frac{7^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 7.1.3

Schreibe $7^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{7^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{7^{2}} \sqrt[4]{m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[4]{7^{2} m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 7.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{49}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 8.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 8.3

Schreibe $\sqrt[4]{7^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{7^{2}}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{\sqrt{7^{2}}}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{3}}$

Schritt 10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[4]{m}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{\sqrt[4]{m} {\sqrt[4]{m}}^{3}}$

Schritt 10.2

Potenziere $\sqrt[4]{m}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{1} {\sqrt[4]{m}}^{3}}$

Schritt 10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{1 + 3}}$

Schritt 10.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{\sqrt[4]{m}}^{4}}$

Schritt 10.5

Schreibe ${\sqrt[4]{m}}^{4}$ als $m$ um.

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Schritt 10.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{m}$ als $m^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{{(m^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 10.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 10.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 10.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 10.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m^{1}}$

Schritt 10.5.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} {\sqrt[4]{m}}^{3}}{m}$

Schritt 11

Schreibe ${\sqrt[4]{m}}^{3}$ als $\sqrt[4]{m^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt{7} \sqrt[4]{m^{3}}}{m}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 12.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{m^{3}}}{m}$

Schritt 12.1.2

Schreibe $7^{\frac{1}{2}}$ als $7^{\frac{2}{4}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{7^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{m^{3}}}{m}$

Schritt 12.1.3

Schreibe $7^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{7^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}} \sqrt[4]{m^{3}}}{m}$

Schritt 12.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{7^{2} m^{3}}}{m}$

Schritt 12.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m} = \frac{\sqrt[4]{49 m^{3}}}{m}$

Schritt 13

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sqrt[4]{\frac{7^{2}}{m}} = \frac{\sqrt[4]{7^{2}}}{\sqrt[4]{m}}$ ist eine Identitätsgleichung.