Trigonometrie Beispiele

$(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 1

Um den $\sec (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{1}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, 0)$ und $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{1}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{1}{3}$

Ankathete : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{1}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{8}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{8}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{8 + 1}{9}}$

Schritt 2.3.7

Addiere $8$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Schritt 2.3.8

Dividiere $9$ durch $9$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.3.9

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sec (θ) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$ folgt $\sec (θ) = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sec (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (θ) = 1 (\frac{3}{2 \sqrt{2}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \approx 1.06066017$