Trigonometrie Beispiele

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kotangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cot (θ) = \frac{Ankathete}{gegenüber}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

Hypothenuse $= \sqrt{64 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 1 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Hypothenuse $= \sqrt{64 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 3}$

Schritt 4.5.5

Berechne den Exponenten.

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 3}$

Schritt 4.6

Addiere $64$ und $3$ .

Hypothenuse $= \sqrt{67}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 8}{\sqrt{67}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{8}{\sqrt{67}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{67}}$ mit $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{8}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}})$

Schritt 5.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{67}}$ mit $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $\sqrt{67}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $\sqrt{67}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{67}}^{2}$ als $67$ um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{67}$ als $67^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

Schritt 5.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{\sqrt{67}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$ mit $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}})$

Schritt 6.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$ mit $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $\sqrt{67}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Schritt 6.3.3.3

Potenziere $\sqrt{67}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Schritt 6.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{67}}^{2}$ als $67$ um.

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Schritt 6.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{67}$ als $67^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67}$

Schritt 6.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3 \cdot 67}}{67}$

Schritt 6.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $67$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{67}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- 8}{- \sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (θ) = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{67}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67 \cdot 3}}{3}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $67$ mit $3$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{67}}{- 8}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{8}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{67}$

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{8}$

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{3}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{8}$