Trigonometrie Beispiele

$3 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 (\frac{1}{2}) + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{3}{2} \cdot 5 + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot 5$ .

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $5$ .

$(\frac{3 \cdot 5}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ und $5$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot 5}{2}) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6

Multipliziere $(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}) + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $\frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $\frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{4} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $\frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{15 i \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $\frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{15 i \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{4}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.5.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \cdot - 1 \sqrt{6}}{4}$

Schritt 7.1.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.5.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- (15 \sqrt{6})}{4}$

Schritt 7.1.5.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- 15 \sqrt{6}}{4}$

Schritt 7.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$

Schritt 7.2

Stelle $\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$ und $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ um.

$- \frac{15 \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$

Schritt 8

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 9

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 10

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ und $b = \frac{15 \sqrt{2}}{4}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{15 \sqrt{2}}{4})}^{2} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 11.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15 \sqrt{2}}{4}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{{(15 \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.1.2

Wende die Produktregel auf $15 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{15^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 {\sqrt{2}}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{\frac{225 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{16} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $225$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{450}{16} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $450$ und $16$ .

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Schritt 11.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $450$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{2 (225)}{16} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 225}{2 \cdot 8} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 225}{2 \cdot 8} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- 1)}^{2} {(\frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Schritt 11.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{15 \sqrt{6}}{4}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(15 \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}})}$

Schritt 11.4.3

Wende die Produktregel auf $15 \sqrt{6}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}})}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + 1 (\frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}})}$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $\frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.6.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 11.6.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 11.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 11.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Schritt 11.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Schritt 11.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Schritt 11.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6}{4^{2}}}$

Schritt 11.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6}{4^{2}}}$

Schritt 11.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.7.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6}{16}}$

Schritt 11.7.2

Mutltipliziere $225$ mit $6$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{1350}{16}}$

Schritt 11.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1350$ und $16$ .

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Schritt 11.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $1350$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{2 (675)}{16}}$

Schritt 11.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{2 \cdot 675}{2 \cdot 8}}$

Schritt 11.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{2 \cdot 675}{2 \cdot 8}}$

Schritt 11.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{675}{8}}$

Schritt 11.7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.7.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{225 + 675}{8}}$

Schritt 11.7.4.2

Addiere $225$ und $675$ .

$| z | = \sqrt{\frac{900}{8}}$

Schritt 11.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $900$ und $8$ .

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Schritt 11.7.5.1

Faktorisiere $4$ aus $900$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{4 (225)}{8}}$

Schritt 11.7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.7.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{4 \cdot 225}{4 \cdot 2}}$

Schritt 11.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{4 \cdot 225}{4 \cdot 2}}$

Schritt 11.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{2}}$

Schritt 11.8

Schreibe $\sqrt{\frac{225}{2}}$ als $\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{2}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.9.1

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{15^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{15}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.10

Mutltipliziere $\frac{15}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{15}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.11.1

Mutltipliziere $\frac{15}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.11.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 11.11.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{15 \sqrt{2}}{4}}{- \frac{15 \sqrt{6}}{4}})$

Schritt 13

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{\frac{15 \sqrt{2}}{4}}{- \frac{15 \sqrt{6}}{4}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 14

Substituiere die Werte von $θ = \frac{5 π}{6}$ und $| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))}$