Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) = \frac{5}{13}$ , $\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(13)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(13)}^{2} - {(5)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(13)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{169 - {(5)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{169 - 1 \cdot 25}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{169 - 25}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $25$ von $169$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{144}$

Schritt 4.6

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{12^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete $= - 1 \cdot 12$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

Gegenkathete $= - 12$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 12}{13}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{12}{13}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- 12}{5}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{12}{5}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{5}{- 12}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (θ) = - \frac{5}{12}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{13}{5}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{13}{- 12}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{13}{12}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{12}{13}$

$\cos (θ) = \frac{5}{13}$

$\tan (θ) = - \frac{12}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{5}{12}$

$\sec (θ) = \frac{13}{5}$

$\csc (θ) = - \frac{13}{12}$