Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.4

Multipliziere $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 6.1.2.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $- \sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Schritt 6.3

Addiere $- {\sin (x)}^{2}$ und $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $- \sin^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Addiere Brüche.

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Schritt 8.1

Um $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 11

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 11.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Schritt 11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Schritt 12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Schritt 13

Schreibe $- \sin^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Schritt 14

Addiere Brüche.

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Schritt 14.1

Um $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 16

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung