Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + (- 1 \cdot 1 - - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

$\frac{1 + (- 1 + \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - 1 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 11

Schreibe $\cos^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 12

Addiere Brüche.

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Schritt 12.1

Um $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 13

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 14

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung