Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = \frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren in $\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))$ um.

$\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$ mit $\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{1 (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}{(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Schritt 6

Mutltipliziere $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Schritt 7

Vereinfache Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere $(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))}$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Faktorisiere $- \sin^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- \sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1) - \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- \sin^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x) (1) - \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1 - 1 \cos^{2} (x))}$

Schritt 8.4

Schreibe $- 1 \cos^{2} (x)$ als $- \cos^{2} (x)$ um.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1 - \cos^{2} (x))}$

Schritt 8.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Multipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Bewege ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}$

Schritt 9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{2 + 2}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{4}}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{4}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{- {\sin (x)}^{4}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- \sin (x)$ aus $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ heraus.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{- {\sin (x)}^{4}}$

Schritt 9.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{4}}$

Schritt 9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Schritt 10

Schreibe $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ als $\frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$ um.

$\frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = \frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung