Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (t)$ an.

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

Schritt 2.4

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (t)$ an.

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Um $\frac{1}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5.1.2

Um $\frac{1}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (t) \sin (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{1}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t) \sin (t)$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Schritt 2.5.5

Schreibe ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ als $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ um.

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Schritt 2.5.6

Multipliziere $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Schritt 2.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Schritt 2.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Schritt 2.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 3.1

Bewege $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Schritt 4

Schreibe $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ als $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ um.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ ist eine Identitätsgleichung