Trigonometrie Beispiele

$y = - \frac{3}{2} \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) + 2$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - \frac{3}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = 2$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{3}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $- \frac{3 \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 3.1.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 3.2.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$6 π$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{6}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{6} \cdot 3$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{6} \cdot 3$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{3 (2)} \cdot 3$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Schritt 4.4.4

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{2}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{2}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $\frac{3}{2}$

Periode: $6 π$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 6