Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} = \sin (t) + \cos (t) - \frac{1}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\sin (t) + \cos (t) - \frac{1}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Um $\sin (t)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t) (\sin (t) + \cos (t))}{\sin (t) + \cos (t)} - \frac{1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) - 1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) - 1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) - 1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \sin (t) \cos (t) - 1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \cos (t) - 1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) - 1}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.3

Bewege $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.4

Stelle $\sin^{2} (t)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (t)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (t)) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (t)) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.8

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (t))$ als $- (1 - \sin^{2} (t))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (t)) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (t) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.10

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $- \cos^{2} (t) + \sin (t) \cos (t)$ heraus.

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Schritt 2.3.10.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $- \cos^{2} (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.10.2

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\sin (t) \cos (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t) \sin (t)}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.3.10.3

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t) \sin (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t) + \sin (t))}{\sin (t) + \cos (t)} + \cos (t)$

Schritt 2.4

Um $\cos (t)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) (- \cos (t) + \sin (t))}{\sin (t) + \cos (t)} + \frac{\cos (t) (\sin (t) + \cos (t))}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t) + \sin (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) (- \cos (t) + \sin (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$ heraus.

$\frac{\cos (t) (- \cos (t) + \sin (t) + \sin (t) + \cos (t))}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.6.2

Addiere $- \cos (t)$ und $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) (0 + \sin (t) + \sin (t))}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.6.3

Addiere $0$ und $\sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) (\sin (t) + \sin (t))}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.6.4

Addiere $\sin (t)$ und $\sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cdot 2 \sin (t)}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (t)$ .

$\frac{2 \cos (t) \sin (t)}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 \cos (t) \sin (t)}{\cos (t) + \sin (t)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{2 \cos (t) \sin (t)}{\cos (t) + \sin (t)}$ als $\frac{2 \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)}$ um.

$\frac{2 \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{2 \sin (t) \cos (t)}{\sin (t) + \cos (t)} = \sin (t) + \cos (t) - \frac{1}{\sin (t) + \cos (t)}$ ist eine Identitätsgleichung