Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ an.

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Schritt 4.1.3

Kombinieren.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Schritt 4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Schritt 4.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Schritt 4.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

Schritt 4.3

Addiere $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ und $0$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ als $\tan^{2} (θ)$ um.

$\tan^{2} (θ)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung