Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Um den Wert von $\tan (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = - 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = - \sqrt{3}$

Schritt 3

Um den Wert von $\cot (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\tan (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Um den Wert von $\sec (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\cos (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - (1 \cdot 2)$

Schritt 6.3

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - 1 \cdot 2$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - 2$

Schritt 7

Um den Wert von $\csc (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\sin (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = 1 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Die ermittelten trigonometrischen Funktionen sind wie folgt:

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - 2$

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$