Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 4

Multipliziere $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 4.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (θ)$ .

$1 = 2 \sin (θ)$

Schritt 8

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (θ) = 1$ um.

$2 \sin (θ) = 1$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 10

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 11

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 12

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Schritt 13

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 13.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 13.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 13.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 14

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$