Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} = 2$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}) = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 4

Multipliziere $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 4.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 6

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = \cos (θ) \cdot 2$

Schritt 8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (θ)$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Schritt 9

Schreibe die Gleichung als $2 \cos (θ) = 1$ um.

$2 \cos (θ) = 1$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 11

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 12

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 13

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 14

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 14.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 14.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 14.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 14.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Schritt 15

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 15.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 15.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 15.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 15.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 16

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$