Trigonometrie Beispiele

$- 2 \cos^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze die $- 2 \cos^{2} (θ)$ durch $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 2 (1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 4

Ersetze $\sin (θ)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 7

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 10

Ersetze $u$ durch $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

Schritt 12

Löse in $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 12.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 13

Löse in $\sin (θ) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- 1)$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Schritt 13.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 13.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 13.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 13.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 13.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 13.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 13.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 13.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.7

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 14

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$