Trigonometrie Beispiele

$\cos (4 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (4 x) = 1$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$4 x = \arccos (1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π - 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 x = 2 π + 0$

Schritt 6.1.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$4 x = 2 π$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2 π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2 π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (4 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$