Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (θ) + 3 \sin (θ) - 4 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (θ)$ .

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (θ)$ .

$(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) + 4 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (θ) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) = 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $90$ .

$θ = 90$

Schritt 3.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 90$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$θ = 90$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.7

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 90 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (θ) + 4$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (θ) + 4$ gleich $0$ .

$\sin (θ) + 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (θ) + 4 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) = - 4$

Schritt 4.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 4$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$ wahr machen.

$θ = 90 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$