Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (θ)$ .

$u^{2} + u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u + u = 0$

Schritt 1.2.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

$u (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$\sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (θ)$ gleich $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $0$ von $180$ .

$θ = 180$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.6

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 360 n, 180 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (θ) + 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (θ) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (θ) + 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- 90$ .

$θ = - 90$

Schritt 4.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 90 + 180$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Schritt 4.2.5.2

Der resultierende Winkel von $270 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.7

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.7.1

Addiere $360$ zu $- 90$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 90 + 360$

Schritt 4.2.7.2

Subtrahiere $90$ von $360$ .

$270$

Schritt 4.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 270$

Schritt 4.2.8

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (θ) (\sin (θ) + 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 360 n, 180 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Führe $360 n$ und $180 + 360 n$ zu $180 n$ zusammen.

$θ = 180 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$