Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (θ)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (θ)$ .

$(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $2 \sin (θ) + 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 \sin (θ) + 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 \sin (θ) + 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (θ) = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- 30$ .

$θ = - 30$

Schritt 3.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 30 + 180$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 3.2.6.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.8

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $360$ zu $- 30$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 30 + 360$

Schritt 3.2.8.2

Subtrahiere $30$ von $360$ .

$330$

Schritt 3.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 330$

Schritt 3.2.9

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (θ) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) = 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $90$ .

$θ = 90$

Schritt 4.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 90$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$θ = 90$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.7

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 90 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n, 90 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 90 + 120 n$ , für jede Ganzzahl $n$