Trigonometrie Beispiele

Solve for θ in Degrees 2sin(theta)^2-sin(theta)-1=0
Schritt 1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.1
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 1.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 1.2.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 1.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 1.2.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 1.2.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.2.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.2.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.1
Setze gleich .
Schritt 3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.2.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 3.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.5
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 3.2.6
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 3.2.6.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.6.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 3.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 3.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 3.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 3.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 3.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 3.2.8
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 3.2.8.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 3.2.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.8.3
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 3.2.9
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.2.2
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 4.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.3.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.4
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 4.2.5
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.6
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.6.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.7
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 6
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl