Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$ , $\sin (θ) < 0$

Schritt 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The cosine function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im vierten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 3

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Gegenkathete $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{9 - 1}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $1$ von $9$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{8}$

Schritt 5.6

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

Gegenkathete $= - \sqrt{4 (2)}$

Schritt 5.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Gegenkathete $= - (2 \sqrt{2})$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

Gegenkathete $= - 2 \sqrt{2}$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $- 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{3}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\sec (θ) = 3$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 10.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 10.3.3.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 10.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 10.3.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 10.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 10.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$