Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) = 1$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\tan (x) = \pm 1$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = 1$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = 1, - 1$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 1$

Schritt 6

Löse in $\tan (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $45$ .

$x = 45$

Schritt 6.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 180 + 45$

Schritt 6.4

Addiere $180$ und $45$ .

$x = 225$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 6.6

Die Periode der $\tan (x)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\tan (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- 45$ .

$x = - 45$

Schritt 7.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 45 - 180$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Addiere $360 °$ zu $- 45 - 180 °$ .

$x = - 45 - 180 ° + 360 °$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $135 °$ ist positiv und gleich $- 45 - 180$ .

$x = 135 °$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 7.6

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $180$ zu $- 45$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 45 + 180$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $45$ von $180$ .

$135$

Schritt 7.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 135$

Schritt 7.7

Die Periode der $\tan (x)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 135 + 180 n, 135 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 45 + 180 n, 225 + 180 n, 135 + 180 n, 135 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 45 + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$