Trigonometrie Beispiele

$(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{10}}{10}, 0)$ und $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Ankathete : $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $100$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $10$ aus $100$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{10}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $90$ und $100$ .

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $10$ aus $90$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

Schritt 2.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $100$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Schritt 2.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Schritt 2.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

Schritt 2.7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

Schritt 2.7.4.2

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Schritt 2.7.4.3

Dividiere $10$ durch $10$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.7.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{\sqrt{10}}{10}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.31622776$