Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{5}$ an.

Ankathete $= - \sqrt{25 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 4.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

Schritt 4.5.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

Schritt 4.6

Multipliziere $- (4 \cdot 5)$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 20}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - 20}$

Schritt 4.7

Subtrahiere $20$ von $25$ .

Ankathete $= - \sqrt{5}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{5}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot - 2$

Schritt 6.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.2.1

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$\tan (θ) = 2$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\tan (θ) = 2$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{- 2 \sqrt{5}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{5}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{- 2 \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{5}{- \sqrt{5}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{5}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 8.3.4.2

Dividiere $\sqrt{5}$ durch $1$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 9.3.3.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 9.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$