Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{θ}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $135$ .

$\frac{θ}{2} = 135$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \cdot 135$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \cdot 135$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 \cdot 135$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $135$ .

$θ = 270$

Schritt 5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{θ}{2} = 360 - 135$

Schritt 6

Löse nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (360 - 135)$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (360 - 135)$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 (360 - 135)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $2 (360 - 135)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Subtrahiere $135$ von $360$ .

$θ = 2 \cdot 225$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $225$ .

$θ = 450$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$360 \cdot 2$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $360$ mit $2$ .

$720$

Schritt 8

Die Periode der $\cos (\frac{θ}{2})$ -Funktion ist $720$ , sodass sich die Werte alle $720$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 270 + 720 n, 450 + 720 n$ , für jede Ganzzahl $n$