Trigonometrie Beispiele

$16 \cos (8 x) - 2 = 6$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (8 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 \cos (8 x) = 6 + 2$

Schritt 1.2

Addiere $6$ und $2$ .

$16 \cos (8 x) = 8$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $16 \cos (8 x) = 8$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 \cos (8 x) = 8$ durch $16$ .

$\frac{16 \cos (8 x)}{16} = \frac{8}{16}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cos (8 x)}{16} = \frac{8}{16}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (8 x)$ durch $1$ .

$\cos (8 x) = \frac{8}{16}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $16$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\cos (8 x) = \frac{8 (1)}{16}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\cos (8 x) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (8 x) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (8 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$8 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$8 x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{π}{3}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{π}{3}$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{π}{3}}{8}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{π}{3}}{8}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 8}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$x = \frac{π}{24}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$8 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$8 x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$8 x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{5 π}{3}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = \frac{5 π}{3}$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{5 π}{3}}{8}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{5 π}{3}}{8}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{8}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 8}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (8 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $8$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 8 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$\frac{2 π}{8}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{8}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{4}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (8 x)$ ist $\frac{π}{4}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{4}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ , für jede Ganzzahl $n$