Trigonometrie Beispiele

sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$ ,

sec (θ)

$\sec (θ)$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

Ankathete

$= \sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete

$= \sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

Ankathete

$= \sqrt{4 - 1}$

Schritt 4.4

Subtrahiere

$1$ von

$4$ .

Ankathete

$= \sqrt{3}$

Ankathete

$= \sqrt{3}$

Schritt 5

Bestimme den Wert von

$\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.2.6

Schreibe

${\sqrt{3}}^{2}$ als

$3$ um.

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Schritt 7.2.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{3}$ als

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 7.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$\sec (θ) = 1.15470053 \dots$