Trigonometrie Beispiele

$30 \cos (30 x) + 14 = - 16$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (30 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 \cos (30 x) = - 16 - 14$

Schritt 1.2

Subtrahiere $14$ von $- 16$ .

$30 \cos (30 x) = - 30$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $30 \cos (30 x) = - 30$ durch $30$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $30 \cos (30 x) = - 30$ durch $30$ .

$\frac{30 \cos (30 x)}{30} = \frac{- 30}{30}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 \cos (30 x)}{30} = \frac{- 30}{30}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (30 x)$ durch $1$ .

$\cos (30 x) = \frac{- 30}{30}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $- 30$ durch $30$ .

$\cos (30 x) = - 1$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$30 x = \arccos (- 1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$30 x = π$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $30 x = π$ durch $30$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $30 x = π$ durch $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{π}{30}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 x}{30} = \frac{π}{30}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{30}$

Schritt 6

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$30 x = 2 π - π$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$30 x = π$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $30 x = π$ durch $30$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $30 x = π$ durch $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{π}{30}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 x}{30} = \frac{π}{30}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{30}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (30 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $30$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 30 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $30$ ist $30$ .

$\frac{2 π}{30}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $30$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{30}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 15}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 15}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{15}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (30 x)$ ist $\frac{π}{15}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{15}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{30} + \frac{π n}{15}$ , für jede Ganzzahl $n$