Trigonometrie Beispiele

$25 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 \sin^{2} (θ) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $25 \sin^{2} (θ) = 1$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 \sin^{2} (θ) = 1$ durch $25$ .

$\frac{25 \sin^{2} (θ)}{25} = \frac{1}{25}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \sin^{2} (θ)}{25} = \frac{1}{25}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{25}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ um.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{5}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (θ) = - \frac{1}{5}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\sin (θ) = - \frac{1}{5}$

Schritt 7

Löse in $\sin (θ) = \frac{1}{5}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1}{5})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$θ = 11.53695903$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 11.53695903$

Schritt 7.4

Subtrahiere $11.53695903$ von $180$ .

$θ = 168.46304096$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\sin (θ) = - \frac{1}{5}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{5})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{5})$ .

$θ = - 11.53695903$

Schritt 8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 11.53695903 + 180$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.4.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 11.53695903 + 180 °$ .

$θ = 360 + 11.53695903 + 180 ° - 360 °$

Schritt 8.4.2

Der resultierende Winkel von $191.53695903 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 11.53695903 + 180$ .

$θ = 191.53695903 °$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 8.6

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.6.1

Addiere $360$ zu $- 11.53695903$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 11.53695903 + 360$

Schritt 8.6.2

Subtrahiere $11.53695903$ von $360$ .

$348.46304096$

Schritt 8.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 348.46304096$

Schritt 8.7

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 191.53695903 + 360 n, 348.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n, 191.53695903 + 360 n, 348.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $11.53695903 + 360 n$ und $191.53695903 + 360 n$ zu $11.53695903 + 180 n$ zusammen.

$θ = 11.53695903 + 180 n, 168.46304096 + 360 n, 348.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.2

Führe $168.46304096 + 360 n$ und $348.46304096 + 360 n$ zu $168.46304096 + 180 n$ zusammen.

$θ = 11.53695903 + 180 n, 168.46304096 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$