Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) = 2 + \cos (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) - 2 = \cos (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Stelle $2 \sin^{2} (x)$ und $- 2$ um.

$- 2 + 2 \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$- 2 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (x)$ .

$- 2 u^{2} - u = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$u (- 2 u) - u = 0$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (- 2 u - 1) = 0$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.3

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.3.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.4

Setze $- 2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $- 2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $- 2 \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos (x) = 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.4.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.4.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 3.4.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 3.4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 3.4.2.6.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 3.4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$