Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $60$ .

$2 x = 60$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 60$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 60$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{60}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{60}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{60}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $60$ durch $2$ .

$x = 30$

Schritt 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 360 - 60$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $60$ von $360$ .

$2 x = 300$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 300$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 300$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{300}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{300}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{300}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $300$ durch $2$ .

$x = 150$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{360}{2}$

Schritt 6.4

Dividiere $360$ durch $2$ .

$180$

Schritt 7

Die Periode der $\cos (2 x)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$