Trigonometrie Beispiele

$\csc (θ) - \sin (θ)$ ?

Schritt 1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (θ)} - \sin (θ)$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$\csc (θ) - \sin (θ)$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \csc (θ)$ und $b = - 1 \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sin (θ))}^{2} + \csc^{2} (θ)}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $- 1 \sin (θ)$ als $- \sin (θ)$ um.

$| z | = \sqrt{{(- \sin (θ))}^{2} + \csc^{2} (θ)}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $- \sin (θ)$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Schritt 6.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 \sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\sin^{2} (θ)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Schritt 6.5

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (θ)}$ an.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}$

Schritt 6.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1}{\sin^{2} (θ)}}$

Schritt 6.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}$

Schritt 6.7.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}$ als ${(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}$

Schritt 6.7.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})$ und $| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$ .

$\sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})))$