Trigonometrie Beispiele

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{4} (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{4} (x)$ heraus.

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\tan^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x))$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 3.1

Ordne Terme um.

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(\sec^{2} (x) - 1) \sec^{2} (x)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) \sec^{2} (x)$

Schritt 5.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.4

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ als $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ um.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.7

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.7.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.8

Um $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\cos (x)}^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ mit $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 6.9.2

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.9.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}}$

Schritt 6.9.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Schritt 6.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Schritt 6.11

Vereinfache den Zähler.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$ als $\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$ um.

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ ist eine Identitätsgleichung