Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{3}, 0)$ und $(- \frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Ankathete : $- \frac{1}{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3^{2}}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{9}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{8}{9}}$

Schritt 2.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 8}{9}}$

Schritt 2.8.4

Addiere $1$ und $8$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Schritt 2.8.5

Dividiere $9$ durch $9$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.8.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- \frac{1}{3}}{1}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $- \frac{1}{3}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{1}{3} \approx - 0.\overline{3}$