Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos^{2} (θ)$ durch $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1

Stelle $\sin (θ)$ und $\cot (θ)$ um.

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\sin (θ) \cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Schritt 2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos^{1} (θ)$ heraus.

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $- \cos^{2} (θ)$ heraus.

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ heraus.

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Schritt 5

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $90$ .

$θ = 90$

Schritt 5.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 90$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $90$ von $360$ .

$θ = 270$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $1 - \cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $1 - \cos (θ)$ gleich $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Schritt 6.2

Löse $1 - \cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (θ) = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (θ) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (θ) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 6.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 0$

Schritt 6.2.6

Subtrahiere $0$ von $360$ .

$θ = 360$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 6.2.8

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ wahr machen.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $90 + 360 n$ und $270 + 360 n$ zu $90 + 180 n$ zusammen.

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.2

Führe $360 n$ und $360 + 360 n$ zu $360 n$ zusammen.

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ nicht erfüllen.

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ , für jede Ganzzahl $n$