Trigonometrie Beispiele

$(6 \sqrt{3}, \frac{5 π}{3})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 6 \sqrt{3}$ und $θ = \frac{5 π}{3}$ in die Formeln ein.

$x = (6 \sqrt{3}) \cos (\frac{5 π}{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$x = 6 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = 6 \sqrt{3} (\frac{1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 8.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 10

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 (\sqrt{3} \sqrt{3})$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 13

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

Schritt 13.5

Berechne den Exponenten.

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

Schritt 14

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$x = 3 \sqrt{3}$

$y = - 9$

Schritt 15

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(6 \sqrt{3}, \frac{5 π}{3})$ ist $(3 \sqrt{3}, - 9)$ .

$(3 \sqrt{3}, - 9)$