Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (x) + \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x) + \cos (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) + \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.4

Separiere Brüche.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 3.2.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2.8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 3.2.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 3.2.10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.10.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.11

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 3.2.12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 3.2.12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.2.13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.14

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.14.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 3.2.14.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.14.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.14.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.14.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 3.2.14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.14.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 3.2.14.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.14.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.15

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (x) - \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x) - \cos (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) - \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.4

Separiere Brüche.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 4.2.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2.8

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = 1$

Schritt 4.2.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 4.2.10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.10.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.11

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.12

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.2.12.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.12.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.12.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 4.2.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.12.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 4.2.12.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$