Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (θ) = 3$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Schritt 2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Schritt 4

Löse in $\tan (θ) = \sqrt{3}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 4.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + \frac{π}{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 4.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Schritt 4.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 4.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.6

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Löse in $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Schritt 5.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 5.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 5.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 5.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.7

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7.2

Führe $\frac{2 π}{3} + π n$ und $\frac{2 π}{3} + π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$